مقاييس النزعة المركزية
| الموقع: | Plateforme pédagogique de l'Université Sétif2 |
| المقرر: | الاحصاء المطبق في العلوم الاجتماعية |
| كتاب: | مقاييس النزعة المركزية |
| طبع بواسطة: | Visiteur anonyme |
| التاريخ: | Sunday، 25 August 2024، 10:05 AM |
الوصف
مقاييس النزعة المركزية:
- المتوسط
- الوسيط
- المنوال
1. تمهيد:
لقد سبق لنا وتكلمنا عن عرض البيانات جدوليا وبيانيا والتعرف على أشكالها وتوزيعاتها المختلفة، غير كافي لوصف طبيعة تمركز وتشتت هذه البيانات.
من اجل وصف طبيعة تمركز وتشتت هذه القيم، كان لبد من تعرض الى مقاييس النزعة المركزية ومقاييس التشتت.
2. المتوسط الحسابي
1. المتوسط الحسابي
يعرف المتوسط الحسابي بأنه:"عبارة عن حاصل قسمة مجموع قيم البيانات i على عددها n في حالة العينة، وعلى N في حالة المجتمع"
- حساب المتوسط الحسابي
أ- في حالة متغير كمي منفصل
مثال: أحسب المتوسط الحسابي للبيانات التالية:
15، 20، 17، 14، 19.
الحل: لحساب المتوسط الحسابي في هذه الحالة نستعمل القانون التالي:
ملاحظة: في قائمة خاص القوانين مقاييس النزعة المركزية
ذلك أن التوزيع المعطى لا يتوفر على تكرارات.
بما أن يمكننا التعويض في المعادلة:
= X15، 20، 17، 14، 19/5
X = 17
ب- في حالة متغير كمي متصل
نتبع الخطوات التالية لحساب المتوسط الحسابي:
أولاً: نجد مركز كل فئة
ثانياً: نضرب مركز كل فئة في تكراراها
ثالثاً: نجمع حواصل ضرب مركز كل فئة تكرارها
رابعاً: نقسم الناتج على التكرار الكلي
وذلك وفق القانون التالي:
ملاحظة: في قائمة خاص القوانين مقاييس النزعة المركزية
مثال:
أحسب المتوسط الحسابي للبيانات المنظمة في الجدول التالي:
|
الفئات |
مراكز الفئات |
التكرار |
مراكز الفئات التكرار |
|
2 - 5 |
3.5 |
2 |
7 |
|
5 - 8 |
6.5 |
2 |
13 |
|
8 - 11 |
9.5 |
1 |
9.5 |
|
11 - 14 |
12.5 |
3 |
37.5 |
|
14 - 17 |
15.5 |
2 |
31 |
|
17 - 20 |
18.5 |
1 |
18.5 |
|
المجموع |
|
11 |
116.5 |
X= 10.59
- خصائص المتوسط الحسابي
- أكثر مقاييس النزعة المركزية استخداما.
- المتوسط الحسابي قابل للعمليات الجبرية ولا يمكن حسابه بيانيا.
- يتأثر بالقيم المتطرفة.
- لا يمكن حسابه من جداول التوزيع التكراري المفتوحة من البداية أو النهاية وذلك لأنه يعتمد في حسابه على مراكز الفئات.
- يأخذ في الاعتبار جميع القيم محل الدراسة.
3. الوسيط الحسابي:
2 الوسيط الحسابي:
الوسيط هو قيمة المفردة التي يسبقها عدد من المفردات يساوي عدد المفردات التي تعقبها، بعد ترتيبها تصاعديا أو تنازليا.
أي أن الوسيط هو النقطة التي تقسم التوزيع إلى قسمين بحيث يكون عدد الدرجات التي أعلى هذه النقطة يساوي عدد الدرجات التي تقع أسفل النقطة.
- حساب الوسيط الحسابي
أ- حساب الوسيط في حالة توزيع بدون تكرارات:
ويعتمد حساب الوسيط على ما إذا كان عدد الدرجات فرديا أم زوجيا.
وفيما يلي طريقة حساب الوسيط:
. إذا كان عدد الدرجات فردياً:
فهنا يكون الوسيط هو الدرجة الوسطى
مثال: 2 ، 5 ، 6 ، 7 ، 10
تعتبر الدرجة 6 تقسم التوزيع الى نصفين، نظرا لأن الدرجتين 3 ، 5 أقل من 6 ، والدرجتين 7 ، 10 أكبر من 6
. إذا كان عدد الدرجات زوجياً:
فهنا يكون الوسيط مساويا لمتوسط الدرجتين اللتين تقعان في وسط التوزيع. فإذا كان لدينا الدرجات ( 3 ، 5 ، 6 ، 7 ، 10 ، 11) فإن الدرجة التي تقسم هذا التوزيع الى نصفين تقع بين 6 ، 7 وهنا يكون الوسيط مساويا لـ 6,5
ب- حساب الوسيط في حالة توزيع تكراري:
وتحسب رتبة الوسيط كما يلي:
ويكون حساب الوسيط باستخدام القانون التالي:
ملاحظة: في قائمة خاص القوانين مقاييس النزعة المركزية
ج-حساب الوسيط في حالة بيانات مبوبة في فئات:
ويكون حساب الوسيط مشابها للحالة السابقة باستخدام القانون التالي:
ملاحظة: في قائمة خاص القوانين مقاييس النزعة المركزية
- خصائص الوسيط:
1- سهولة معناه رغم عدم شيوعه
2- قيمة الوسيط محددة حيث يسبقه 50% من قيم درجات الأفراد ويتلوه 50% من قيم درجات الأفراد ولذلك فهو متوسطاً مكانياً وليس متوسطاً حسابياً
3- قيمة الوسيط لا تتأثر بالقيم المتطرفة مثل المتوسط ولكنه يتأثر بالقيم القريبة منه ويتأثر أيضا بعدد الأفراد
فمثلاً: الدرجات 2 4 5 8 9 13 15
متوسطها = 8، ووسيطها= 8
بينما نفس الدرجات عندما نستبدل الدرجة 15 ب 50 نجد أن متوسطها أصبح 13 بينما وسيطها ظل كما هو=83
4. المنوال
حساب المنوال
أ-حساب المنوال في حالة توزيع بدون تكرارات
حدد المنوال للقيم التالية: 1، 2، 3، 4، 5
ب-حساب المنوال في حالة توزيع تكراري
لا يستدعي تحديد المنوال في هذه الحالة أي عمليات حسابية، بحيث يتم تحديد المفردة أو العنصر أو القيمة التي حصلت أكثر تكرار
مثال: حدد المنوال للبيانات التالية:
ذكر، أنثى، أنثى، أنثى، ذكر
المنوال في هذه الحالة هو: أنثى، لأنها تكررت ثلاث مرات في حين تكررت ذكر مرتين فقط.
ج-حساب المنوال في حالة بيانات مبوبة في فئات من خلال القانون التالي:
تجد القانون في ملف الخاص قوانيين النزعة المركزية
مثال
لنحسب المنوال لبيانات المثال السابق.
الفئة المنوالية هي [9 - 10 [
L=8,5/ d1=5/ d2=8/ ∆=2
Mod=9,36
خصائص المنوال
إن المنوال إحصاء محدود إذ أنه لا يقدم لنا إلا قليلا من المعلومات من البيانات الخام.
إن أهمية المنوال تتمثل فيما إذا كان الهدف معرفة القيمة التي يتفق فيها أغلب أفراد المجموعة، إن هذا المقياس المركزي يمكن الحصول عليه في أقصر وقت ممكن، إلا أنه لا يهتم كثيرا بالدقة[1].
تحديد التواء التوزيع مباشرة من مقاييس النزعة المركزية :
يقصد بالعلاقة بين مقاييس النزعة المركزية موقع كل من المنوال، الوسيط والمتوسط في التوزيع بالنسبة لبعضهم البعض.
1- المنحنى معتدل التوزيع :
عندما يكون : المتوسط = الوسيط = المنوال
ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء مناسب لمستوى سن وتعليم أفراد العينة
2- المنحنى ملتوى التواء موجب :
عندما يكون : المتوسط < الوسيط < المنوال
ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء للراشدين على عينة من الأطفال أي أن الاختبار يكون صعبا في مستواه بالنسبة لهم وذلك لأن التكرارات تكون مجتمعة عند القيم الصغيرة ويكون موقع الوسيط في الوسط والمنوال على اليسار والمتوسط على اليمين.
3- المنحنى ملتوى التواء سالب :
عندما يكون : المتوسط > الوسيط > المنوال
ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء لأطفال المرحلة الابتدائية على عينة من الطلبة الجامعيين أي أن الاختبار يكون سهلا في مستواه بالنسبة لهم فينجح معظمهم في الاختبار وذلك لأن التكرارات تكون مجتمعة عند القيم الكبيرة ويكون موقع الوسيط في الوسط والمنوال على اليمين والمتوسط على اليسار.
مقارنة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة[2]:
إذا افترضنا أننا نتعامل مع توزيع اعتدالي مثالي في خصائصه، فسنجد أن المقاييس الثلاثة تتطابق في نقطة واحدة ففي هذا التوزيع الاعتدالي سنجد أن خط الوسط هو الذي يحدد القيمة المتوسطة فيه أي المتوسط وسنجد أن أقصى ارتفاع له يمثل أعلى تكرار عند نقطة معينة في هذا المنحنى أي المنوال، كما أن الخط نفسه هو الذي يقسم المنحنى الاعتدالي إلى نصفين متماثلين يقع نصف الحالات قبله ونصف الحالات بعده أي أنه الوسيط.
غير أن هذه الحالة لا توجد دائما إذ كثيرا ما نجد لدينا توزيعات مفرطحة أو ملتوية تؤدي إلى اختلاف المقاييس الثلاثة على امتداد التوزيع، فإذا عدنا لحالات الإلتواء الموجب والسالب فسنجد الآتي:
أ-في حالة الإلتواء الموجب: وحيث يتجه ذيل المنحنى إلى اليمين مقتربا من المحور السيني، ستكون أكبر التكرارات (حيث المنوال) أقرب إلى مركز الجزء المنتفخ في المنحنى يليها الوسيط الذي يحتل موقعا أقرب إلى منتصف التوزيع متحركا نحو اليسار نتيجة لدخول القيم المتطرفة الكبيرة وقليلة العدد التي يمثلها ذيل المنحنى الموجب الإلتواء ويقع المتوسط على يسار الوسيط معبرا عن القيمة المتوسطة حسابيا لمجموعة القيم التي يعبر عنها المنحنى (السيد، ص ص 125-126) .
ب-في حالة الإلتواء السالب: وحيث يتجه ذيل المنحنى إلى اليسار مقتربا من نقطة الصفر على المنحنى السيني، نجد انطباق نفس النمط من التوزيع ولكن مع اختلاف في الاتجاه فالمنوال يقع في مركز الجزء المنتفخ من التوزيع ( أي على اليمين هذه المرة وليس على اليسار) يليه الوسيط ثم المتوسط.
ويترتب على هذا الاختلاف شكل التوزيع، أو كونه معتدلا أو ملتويا مزايا معينة في استخدام أحد هذه المقاييس الاحصائية دون الأخرى، ويلخص خيري (المصدر السابق، 1992، ص105) هذه المزايا في الآتي:
أ- المتوسط: هو اكثر هذه المقاييس ثباتا وقابلة للاستخدام في المعالجات الإحصائية التي تلتوي سواء لحساب تشتت التوزيع أو المخرج للاستدلالات معينة من البيانات التي يحسب لها هذا المتوسط، كما يعد أفضل هذه المقاييس إذا كان التوزيع اعتدا ليا أو أقرب إلى الاعتدال.
ب-الوسيط: أسلوب سريع يوفر الجهد والوقت في حالة الرغبة في التوصل غلى مؤشر للنزعة المركزية دون كثير من التدقيق ...إن الوسيط يساعد في تحديد موقع قيمة معينة على التوزيع، وما إذا كان هذا الموقع مرتفعا أو منخفضا وهي الحالة التي تعكسها المئينات،كما تظهر ميزة أخرى للوسيط عندما يكون الحد الأدنى للفئة الصغرى غير معروف أو غير محدد، أو إذا كان الحد الأقصى للفئة العليا غير معروف أو محدد أيضا، بينما يتأثر المتوسط بشدة إذا وجدت إحدى هاتين الحالتين أو كلاهما.
ج- المنوال: يصبح هاما إذا كانت لدينا رغبة في الحصول على تقدير لقيمة مركزية بسرعة دون اعتبار للدقة، أو اذا كان هدف الباحث معرفة القيمة الشائعة أو التي يتفق فيها عدد كبير من أفراد المجموعة.
4.3. العلاقة بين المقاييس الثلاثة (المتوسط الوسيط والمنوال):
قد يحسب الباحث إحدى المقاييس الثلاثة لتوزيع معين، ثم يحسب مقياسا آخر، ويمكن الاكتفاء بحساب أي مقياسيين من الثلاثة، واستنباط المقياس الثالث من خلال العلاقة النسبية بينهم وهي علاقة تقريبية لا تختلف إلا اختلافا ضئيلا من حالة لأخرى وبصفة عامة نحد دائما أن الفرق بين المتوسط الحسابي والمنوال يعادل ثلاثة أمثال الفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط ويؤدي هذا إلى امكان حساب أي منهما من الاثنين الآخرين كالآتي:
المتوسط = 3/2 الوسيط - ½ المنوال
الوسيط = ½ المنوال + 2/3 المتوسط
المنوال = 3× الوسيط - 2 المتوسط (خيري، 1993، ص 106)