مقاييس النزعة المركزية

4. المنوال

 حساب المنوال

أ‌-حساب المنوال في حالة توزيع بدون تكرارات

حدد المنوال للقيم التالية: 1، 2، 3، 4، 5

ب‌-حساب المنوال في حالة توزيع تكراري

 لا يستدعي تحديد المنوال في هذه الحالة أي عمليات حسابية، بحيث يتم تحديد المفردة أو العنصر أو القيمة التي حصلت أكثر تكرار

مثال: حدد المنوال للبيانات التالية:

ذكر، أنثى، أنثى، أنثى، ذكر

المنوال في هذه الحالة هو: أنثى، لأنها تكررت ثلاث مرات في حين تكررت ذكر مرتين فقط. 

ج-حساب المنوال في حالة بيانات مبوبة في فئات من خلال القانون التالي:

     تجد القانون في ملف الخاص قوانيين النزعة المركزية

مثال

لنحسب المنوال لبيانات المثال السابق.

الفئة المنوالية هي [9 - 10 [                  

L=8,5/  d1=5/   d2=8/   ∆=2   

Mod=9,36

خصائص المنوال

إن المنوال إحصاء محدود إذ أنه لا يقدم لنا إلا قليلا من المعلومات من البيانات الخام.

إن أهمية المنوال تتمثل فيما إذا كان الهدف معرفة القيمة التي يتفق فيها أغلب أفراد المجموعة، إن هذا المقياس المركزي يمكن الحصول عليه في أقصر وقت ممكن، إلا أنه لا يهتم كثيرا بالدقة[1]. 

تحديد التواء التوزيع مباشرة من مقاييس النزعة المركزية :

يقصد بالعلاقة بين مقاييس النزعة المركزية موقع كل من المنوال، الوسيط والمتوسط في التوزيع بالنسبة لبعضهم البعض.

1- المنحنى معتدل التوزيع :

عندما يكون : المتوسط = الوسيط = المنوال

ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء مناسب لمستوى سن وتعليم أفراد العينة

2- المنحنى ملتوى التواء موجب :

عندما يكون : المتوسط < الوسيط < المنوال

ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء للراشدين على عينة من الأطفال أي أن الاختبار يكون صعبا في مستواه بالنسبة لهم وذلك لأن التكرارات تكون مجتمعة عند القيم الصغيرة ويكون موقع الوسيط في الوسط والمنوال على اليسار والمتوسط على اليمين.

3- المنحنى ملتوى التواء سالب :

عندما يكون : المتوسط > الوسيط > المنوال

ويكون ذلك إذا طبقنا مثلا اختبار ذكاء لأطفال المرحلة الابتدائية على عينة من الطلبة الجامعيين أي أن الاختبار يكون سهلا في مستواه بالنسبة لهم فينجح معظمهم في الاختبار وذلك لأن التكرارات تكون مجتمعة عند القيم الكبيرة ويكون موقع الوسيط في الوسط والمنوال على اليمين والمتوسط على اليسار.

مقارنة بين مقاييس النزعة المركزية الثلاثة[2]:

إذا افترضنا أننا نتعامل مع توزيع اعتدالي مثالي في خصائصه، فسنجد أن المقاييس الثلاثة تتطابق في نقطة واحدة ففي هذا التوزيع الاعتدالي سنجد أن خط الوسط هو الذي يحدد القيمة المتوسطة فيه أي المتوسط وسنجد أن أقصى ارتفاع له يمثل أعلى تكرار عند نقطة معينة في هذا المنحنى أي المنوال، كما أن الخط نفسه هو الذي يقسم المنحنى الاعتدالي إلى نصفين متماثلين يقع نصف الحالات قبله ونصف الحالات بعده أي أنه الوسيط.

       غير أن هذه الحالة لا توجد دائما إذ كثيرا ما نجد لدينا توزيعات مفرطحة أو ملتوية تؤدي إلى اختلاف المقاييس الثلاثة على امتداد التوزيع، فإذا عدنا لحالات الإلتواء الموجب والسالب فسنجد الآتي:

أ-في حالة الإلتواء الموجب: وحيث يتجه ذيل المنحنى إلى اليمين مقتربا من المحور السيني، ستكون أكبر التكرارات (حيث المنوال) أقرب إلى مركز الجزء المنتفخ في المنحنى يليها الوسيط الذي يحتل موقعا أقرب إلى منتصف التوزيع متحركا نحو اليسار نتيجة لدخول القيم المتطرفة الكبيرة وقليلة العدد التي يمثلها ذيل المنحنى الموجب الإلتواء ويقع المتوسط على يسار الوسيط معبرا عن القيمة المتوسطة حسابيا لمجموعة القيم التي يعبر عنها المنحنى (السيد، ص ص 125-126) .

ب-في حالة الإلتواء السالب: وحيث يتجه ذيل المنحنى إلى اليسار مقتربا من نقطة الصفر على المنحنى السيني، نجد انطباق نفس النمط من التوزيع ولكن مع اختلاف في الاتجاه فالمنوال يقع في مركز الجزء المنتفخ من التوزيع ( أي على اليمين هذه المرة وليس على اليسار) يليه الوسيط ثم المتوسط.

ويترتب على هذا الاختلاف شكل التوزيع، أو كونه معتدلا أو ملتويا مزايا معينة في استخدام أحد هذه المقاييس الاحصائية دون الأخرى، ويلخص خيري (المصدر السابق، 1992، ص105) هذه المزايا في الآتي:

أ- المتوسط: هو اكثر هذه المقاييس ثباتا وقابلة للاستخدام في المعالجات الإحصائية التي تلتوي سواء لحساب تشتت التوزيع أو المخرج للاستدلالات معينة من البيانات التي يحسب لها هذا المتوسط، كما يعد أفضل هذه المقاييس إذا كان التوزيع اعتدا ليا أو أقرب إلى الاعتدال.

ب-الوسيط: أسلوب سريع يوفر الجهد والوقت في حالة الرغبة في التوصل غلى مؤشر للنزعة المركزية دون كثير من التدقيق ...إن الوسيط يساعد في تحديد موقع قيمة معينة على التوزيع، وما إذا كان هذا الموقع مرتفعا أو منخفضا وهي الحالة التي تعكسها المئينات،كما تظهر ميزة أخرى للوسيط عندما يكون الحد الأدنى للفئة الصغرى غير معروف أو غير محدد، أو إذا كان الحد الأقصى للفئة العليا غير معروف أو محدد أيضا، بينما يتأثر المتوسط بشدة إذا وجدت إحدى هاتين الحالتين أو كلاهما.

ج- المنوال: يصبح هاما إذا كانت لدينا رغبة في الحصول على تقدير لقيمة مركزية بسرعة دون اعتبار للدقة، أو اذا كان هدف الباحث معرفة القيمة الشائعة أو التي يتفق فيها عدد كبير من أفراد المجموعة.

4.3. العلاقة بين المقاييس الثلاثة (المتوسط الوسيط والمنوال):

قد يحسب الباحث إحدى المقاييس الثلاثة لتوزيع معين، ثم يحسب مقياسا آخر، ويمكن الاكتفاء بحساب أي مقياسيين من الثلاثة، واستنباط المقياس الثالث من خلال العلاقة النسبية بينهم وهي علاقة تقريبية لا تختلف إلا اختلافا ضئيلا من حالة لأخرى وبصفة عامة نحد دائما أن الفرق بين المتوسط الحسابي والمنوال يعادل ثلاثة أمثال الفرق بين المتوسط الحسابي والوسيط ويؤدي هذا إلى امكان حساب أي منهما من الاثنين الآخرين كالآتي:

المتوسط = 3/2 الوسيط - ½ المنوال

الوسيط = ½ المنوال + 2/3 المتوسط

المنوال = 3× الوسيط - 2 المتوسط   (خيري، 1993، ص 106)