المحاضرة الثانية

3.3. مبادئ النسق الإقليدي

أ-البديهيات Axiomes:

 يعرف لالاند البديهيات في معجمه الفلسفي على أنه قضايا بينة بذاتها لمجرد أن نسمع كلامها[1]،تتميز البديهيات عادة ببساطتها إلى درجة أنها لا يمكن أن تتأدى منها إلى ماهو أدنى منها،سماها إقليدس بالأفكار العامة،وسمّاها أرسطو بالمبادئ لأن إنكارها يؤدي إلى تناقض،لقد أراد إقليدس أن يبين أنها أفكار مستمدة من الخبرة الحسية فإنها تصدق على طبيعة المكان الفيزيائي،أي أنه مستمدة من الواقع ونحن ندرك مضمونها بالحدس[2].ومن أمثلة هذه البديهيات نجد:

 -الأشياء المساوية لشيء واحد متساوية.

 -إذا أضفنا أشياء متساوية إلى أشياء متساوية،فالنواتج الكلية تكون متساوية.

 -إذا طرحنا أشياء متساوية من أشياء متساوية،فبواقي الطرح تكون متساوية.

 -الكل أكبر من أجزائه.

 -المقادير التي ينطبق أحدها على الآخر متساوية.

ب-المسلمات:

  قضايا أقل وضوحا من البديهيات ومن ثمة تتطلب برهانا ،ولكن إقليدس يطالب بالتسليم بها دون برهان،لأن محاولة البرهنة عليها تعيق تقدم العلم،ويمكننا أن نستنبط منها قضايا لا تتناقض معها ولا تتنافى معها.

 من أهم هذه المسلمات نجد:

 -من الممكن رسم مستقيم بين نقطتين.

 -من الممكن رسم  دائرة من أي مركز.

   ويذكر العديد من المؤرخين أن إقليدس لم يذكر إلا هذه المسلمات في"الأصول"، " إلا أن بعض الرياضيين قد نقلوا ثلاثة من بديهيات إقليدس وأضافوها إلى مسلماته اعتمادا على بعض المخطوطات "(3)، وهذه المسلمات هي:

1-          المستقيمان لا يحددان مكانا.

2-          إذا قابل مستقيم مستقيمين وكون معها من ناحية واحدة زاويتين داخليتين مجموعهما أقل من قائمتين، فإن المستقيمين إذا امتدا يتقاطعان في النهاية من الجهة التي تكون فيها مجموع الزاويتين أقل من قائمتين (مسلمة التوازي).

 ج- التعريفات Définitions:

" وهي تشمل على تعريف الألفاظ المستخدمة في الهندسة، كالنقطة والخط والمربع، ولكن هذه التعريفات ليست قضايا، ومن ثمة لا توصف بصدق أو كذب، وإنما أرادنا إقليدس على البدء بها وقبولها "(1) إذ يبدأ إقليدس كتاب الأصول بسلسلة من التعريفات باعتبارها مبادئ لا تعبر عن جواهر الأشياء أو ماهيتها بل " هي تعريفات اسمية وليست واقعية وقد وضعت بغرض الوصول إلى أقصى درجة من الوضوح اللغوي مقترنة بذلك من المعطيات الأولية "(2).

ومن الملاحظ أن تعريفات إقليدس عكس تعريفات أرسطو، كونها أفكارا عامة مستخلصة من استقراء الجزئيات ثم يقوم بتركيبها ومن أهم تعريفاته نذكر:

• النقطة هي ما ليس له أجزاء أو ما ليس له مقدار.
• الخط طول دون عرض.
•  نهاية الخط نقطتان.
•  الخط المستقيم هو الذي يقع باعتدال بين نقطتي النهاية.
•  السطح هو الذي له طول وعرض.
•  المثلث المتساوي الساقين هو المثلث الذي له ضلعان متساويان.